הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד סינטקטי ורובד סמנטי. הרובד הסינטקטי הוא בעצם ה א"ב שלנו, סימני הפיסוק והכללים לבניית מילים הרובד הסמנטי מתייחס למילים עצמן (מה המשמעות של המילה בשפה) הגדרה 0.3 בניית קבוצה באינדוקצית מבנה תהי קבוצה Ω העולם בו אנחנו נמצאים. נסמן ב B להיות קבוצת הבסיס שלנו. נשים לב כיΩ B. נסמן ב F את קבוצת הפונקציות כך שכל f n,i F היא פונקציה f n,i : Ω n Ω נסמן ב X B,F את הקבוצה המוגדרת באינדוקציה ע"י B ו X B,F F. ההיא הקבוצה המקיימת את הדרישות הבאות: B X B,F.1.2 לכל f n,i F ולכל x 1,..., x n X B,F גם f n,i (x 1,..., x n ) X B,F 3. B,F X הינה קבוצה מינימלית משפט 0.4 קיימת קבוצה X B,F המקיימת את הדרישות 1,2,3. משפט 0.5 משפט ההוכחה באינדוקציה אם A קבוצה המקיימת את התנאים הבאים: B A.1.2 לכל פונקציה f n,i F ולכל איבר בקבוצה x 1,..., x n A מתקיים f n,i (x 1,.., x n ) A אזי.X B,F A הגדרה 0.6 סדרת יצירה עבור איבר a X B,F הינה סדרה סופית a 1,.., a k כך שמתקיים: 1. k a = a (כלומר a הוא האיבר האחרון שמתקבל בסדרה) 2. כל איבר a i בסדרה, מקיים a i B או התקבל מהפעלת פונקציה ב F על איברים קודמים בסדרה. a X B,F אם ורק אם יש ל a סדרת יצירה. משפט 0.7 הערה 0.8 איך נראה שמילה בשפה? נבנה סדרת יצירה עבור המילה. הערה 0.9 איך נראה שמילה אינה בשפה? נרצה להראות כי קיימת תכונה מסויימת כלשהי של שפות. השפה שלנו תקיים את התכונה אך המילה לא תקיים אותה ולכן המילה שלנו לא שייכת לשפה. נראה כי השפה שלנו מקיימת את התכונה ע"י סדרת יצירה.

2 תחשיב הפסוקים 1 הקדמה: בתחשיב הפסוקים יש לנו אותיות וקשרים מהם נבנה ביטויים מורכבים. אותיות:..., 1 P 0, P קשרים:, R,,, ביטוי: ביטוי הוא סדרה סופית של סימנים : N} Σ = {(, ),,,,, } {P i i וקבוצת הביטויים שלנו תהיה.Σ הגדרה 1.1 קבוצת הביטויים החוקיים W F F : Well Formed Formulas נגדיר את קבוצת הביטויים החוקיים בהגדרה אינדוקטיבית. בסיס: פסוקים \ נוסחאות אטומיות : N} B = {P i i פעולות: } F,F = {F, F, F, F, כאשר: F (a, b) = (a b) F (a, b) = (a b) F (a, b) = (a b) F (a, b) = (a b) F (a) = ( a) וקבוצת הביטויים החוקיים Formulas) (WFF - Well Formed תהיה הסגור של B ביחס ל F. טענה 1.2 כל ביטוי חוקי (WFF) הוא פסוק אטומי או מתחיל ב ) ונגמר ב (. טענה 1.3 בכל ביטוי חוקי ) # = (.# הערה ) 1.4 2 (P 1 P ו ( P )הם 2 P 1 ביטויים שונים. משפט הקריאה היחידה משפט 1.5 משפט הקריאה היחידה לכל ביטוי חוקי α W F F מתקיים בדיוק אחד מהבאים: 1. α פסוק אטומי.2 קיימים פסוקים יחידים β, γ W F F כך ש ( γ α = (β.3 קיימים פסוקים יחידים β, γ W F F כך ש ( γ α = (β.4 קיימים פסוקים יחידים β, γ W F F כך ש ( γ α = (β.5 קיימים פסוקים יחידים β, γ W F F כך ש ( γ α = (β.6 קיים פסוק יחיד β W F F כך ש ( β ) α = משפט 1.6 ניסוח שקול של משפט הקריאה היחידה לכל פסוק α W F F מתקיים שני הבאים:.1 אם יש פסוקים β, γ W F F ופעולה{,,, {, op כך ש ( γ α = (β op אז: לכל זוג פסוקים γ β, ופעולה{,,, {, op אם מתקיים( γ α = (β op אז בהכרח β.γ = γ, op = op, β =.2 אם יש פסוק β W F F כך ש β α = אז: אין פסוקים γ, δ W F F ו {,,, {, op כך ש ( δ α = (γ op וגם אם ϕ W F F מקיים ( ϕ) α = אז.ϕ = β

3 אלגוריתם לבדיקה האם Σ α הוא ב?W F F 1. אם α פסוק אטומי אז נאמר α. W F F אם לא, ממשיכים. 2. אם α מתחיל ב ) ונגמר ב ( אז נמחק אותם ונמשיך ל 3. אחרת נאמר ש α אינו ב W. F F 3. אם הסימן הראשון הוא נמשיך ל 4. אחרת ל 5. 4. נמחק את ונחזור ל 1. 5. נעבור על הפסוק משמאל לימין עד שמספר הסוגריים השמאליים יהיה שווה למספר הימניים (נמצא את "האיבר השמאלי"). נקודת השוויון היא מיד לאחר הסוגר הימני שמשיג את השוויון:...)... אם הגענו לקשר דו מקומי (,,,, ) נמחק אותו ונריץ שוב את האלגוריתם עבור סדרת הסימנים משמאל לקשר וסדרת הסימנים מימין לקשר. אם לא הגענו לקשר דו מקומי או שאין נקודת שוויון נאמר ש α אינו ב W. F F אם הביטוי הימני או השמאלי לא ב W F F נאמר ש α אינו ב.W F F לבסוף נודיע ש.α W F F הגדרה 1.7 סדר קדימויות על כמתים,, הגדרה {, } 1.8 F 1 W F בסיס: N}.B = {P i i פעולות: } F.F = {F, {, } F W F הוא הסגור. 1 באותו אופן מוגדרות {, } F W F או {, } F W F

4 2 תקפות טיעון הגדרה 2.1 טיעון תקף: טענה שמסקנתה נכונה בכל פעם שההנחות נכונות. אינטואיציה: כדי לדעת האם ביטוי "נכון" או "לא נכון", נתעניין אך ורק בהאם ה"הנחות" ) j P) 1,,... P "נכונות" או לא. כלומר האם P i נכון או לא נכון. מטרתנו תהיה ליצור קשר בין "ערך האמת" של פסוק α לערכי האמת של המשתנים. הגדרה 2.2 השמה 2 היא פונקציה f} v : {P i i N} {t, הגדרה 2.3 ערך האמת: בהינתן השמה t},v : {P i i N} {f, נגדיר את ערך האמת f} 3 v : W F F {t, : יהי α W F F אם α פסוק אטומי, נגדיר v(α) v(α) = אם γ) α = (β op אז v(γ)) v(α) = T T op ( v(β), אם ( β) α = אז ( v(β)) v(α) = T T משפט 2.4 משפט הגדרת ערך האמת: ערך האמת (כמו שהגדרנו אותו) מוגדר היטב, ובפרט יחיד. טענה 2.5 אם כל המשתנים המופיעים ב α הם מהקבוצה } n P} 1,,... P ו z,v הן השמות המסכימות על משתנים אלו (כלומר, v(α) = z(α) אז מתקיים,( 1 i n, v(p i ) = z(p i ) הגדרה 2.6 קבוצת קשרים היא שלמה פונקציונלית 4 אם ניתן להביע בעזרתה כל טבלת אמת. טענה } 2.7, },{,,{, } {, שלמות פונקציונלית. הערה 2.8 איך נראה שקבוצה היא שלמה פונקציונלית? נרצה לתאר בעזרת הקבוצה הזאת קבוצה שלמה פונקציונלית אחרת. איך נראה שקבוצה אינה שלמה פונקציונלית? נחפש תכונה שכל הנוסחאות מעל קשרי הקבוצה מקיימות (נוכיח תכונה זו בעזרת אינדוקציית מבנה) ונמצא טבלת אמת כלשהי שלא מקיימת תכונה זו ומכאן נקבל סתירה כי ההגדרה של קבוצה שלמה פונקציונלית היא שבעזרתה אנחנו יכולים להביע כל טבלת אמת. 2 אלכס (מרצה אחר) קורא להשמה סביבה 3 אלכס מסמן [ α ] v וארנון מסמן v(α) ולא מבדיל בין השמה לערך האמת 4 קיצור ש"פ

5 3 סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים הגדרה 3.1 תהי השמה v: אם v(α) = t נסמן v = α ונאמר כי v מספקת את.α נאמר כי α ספיקה, אם קיימת השמה v כך ש α v. = נאמר כי α טאוטולוגיה אם לכל השמה v מתקיים v. = α פסוק α יקרא סתירה אם לא קיימת השמה v כך ש α ( α תהיה v = טאוטולוגיה) נאמר כי פסוק α שקול לפסוק β אם לכל השמה v מתקיים v(β) v(α) = ונסמן a. β קבוצת נוסחאות Γ ספיקה אם קיימת השמה v כך שלכל פסוק v(α) = t,α Γ ונסמן.v = Γ.Γ = α ומסמנים v = α אזי v = Γ מתקיים: אם v לכל אם נובעת סמנטית מ Γ α מסקנה 3.2 מסקנות חשובות:.1 טאוטולוגיה: γ))) ((α (β γ)) ((α β) (α 2. שקילויות: (α β) γ α (β γ) (α β) γ (α γ) (β γ) (α β) (β α) (α β) (β α) ( α) α.3 אם Γ {α} = β וגם Γ { α} = β אזי.Γ = β.4 אם Γ { α} = β וגם Γ { α} = β אזי Γ (מצב = α זה לא ייתכן ולכן נכון באופן ריק)..5 אם Γ { α} = α אזי.Γ = α.6 אם α β אזי.{α} = β.{α} = β אם"ם = (α β).7.8 } n {α 1,..., α ספיקה אם"ם α 1 α n ספיק..9 אם Γ 1 Γ 2 ו α Γ 1 = אזי.Γ 2 = α 3.1 הצבות הגדרה 3.3 החלפת פסוק אטומי בנוסחה נקרא הצבה הגדרה 3.4 תהיינה,ϕ α נוסחאות ו P 1 פסוק אטומי, נגדיר כעת את ההצבה של נוסחה αבמקום הפסוק האטומי P 1 בתור.ϕ(α/P 1 ) ϕ(α/p 1 ) = { α ϕ = P 1 ϕ ϕ P 1 הגדרה 3.5 אם ϕ הוא פסוק אטומי, אז אם ( ψ) ϕ = אז ϕ(α/p 1 ) = ( ψ(α/p 1 ))

6 ואם γ) ϕ = (ψ op אז ϕ(α/p 1 ) = (ψ(α/p 1 ) op γ(α/p 1 )) טענה 3.6 לכל זוג נוסחאות מקבוצת הביטויים החוקיים, ϕ, α W F F מתקיים כי ϕ(α/p 1 ) W F F הגדרה ) 3.7 n :ϕ(α 1 /P 1,... α n /P בסיס: אם ϕ פסוק אטומי, נגדיר באופן דומה להגדרה הקודמת α 1 ϕ = P 1 α 2 ϕ = P 2 ϕ(α 1 /P 1,... α n /P n ) =.. α n ϕ ϕ = P n otherwise אם ( ψ) ϕ = אז ϕ(α 1 /P 1,... α n /P n ) = ( ϕ(α 1 /P 1,... α n /P n )) ϕ(α 1 /P 1,... α n /P n ) = (ψ(α 1 /P 1,... α n /P n ) op γ(α 1 /P 1,... α n /P n )) ואם γ) ϕ = (ψ op אז v (P 1 ) = הגדרה 3.8 הקשר בין ערכי אמת לפני ולאחר הצבה: בהנתן השמה v נגדיר השמה חדשה v : { v(α 1 ) i = 1 v(p i ) i 1 טענה 3.9 עבור השמה v וההשמה שהגדרנו,v מתקיים כי )) 1. v (ϕ) = v(ϕ(α 1 /P מסקנה 3.10 אם ϕ הוא טאוטולוגיה, אז כך גם ) n ϕ(α 1 /P 1,..., α n /P לכל.α 1..., α n W F F 3.2 צורות נורמליות הגדרה 3.11 נגדיר את הצורה הנורמלית (Negation Normal Form) NNF באופן אינדוקטיבי כסגור של הבסיס N},B = {P i i N} {( P i ) i והפעולות } f.f = {f, טענה 3.12 לכל α W F F קיים α NNF כך ש α.α הגדרה 3.13 נגדיר את Conj להיות הסגור של הבסיס N} B = {P i i N} {( P i ) i עם הפעולה f.f = נגדיר את הצורה הנורמלית (Disjunctive Normal Form) DNF להיות הסגור של הבסיס Conj עם הפעולה } f} F. = טענה 3.14 לכל α W F F קיים β DNF כך ש.α β הגדרה 3.15 נגדיר את Disj להיות הסגור של הבסיס N} B = {P i i N} {( P i ) i עם הפעולה } {f.f = הגדרה 3.16 נגדיר את הצורה נורמלית (Conjunctive Normal Form) CNF כסגור של הבסיס Disj עם הפעולה } {f.f = טענה 3.17 לכל α W F F קיים β CNF כך ש.α β

7 4 הוכחה בתחשיב הפסוקים הגדרה 4.1 באופן אבסטרקטי מערכת הוכחה מורכבת מהבאים: {P i והפעולות },,,,.({.1 אלפבית (אצלנו הפסוקים N} i 2. נוסחאות מעל האלפבית (אצלנו ה WFF ). 3. קבוצת נוסחאות הנקראות אקסיומות A. 4. כללי היסק F. הגדרה 4.2 נאמר שפסוק ϕ יכיח מתוך קבוצת ההנחות Γ, אם הוא שייך לסגור של הקבוצה Γ A עם הפעולות ב F. הערה 4.3 הוכחה של פסוק ϕ מקבוצת ההנחות Γ נעשית ע"י הצגת סדרת יצירה של ϕ וזאת בכדי להראות שהוא בסגור הנ"ל. סימונים: S. במערכת יכיח (ניתן להוכחה) מ Γ ϕ אם Γ s עבור מערכת הוכחה S, נסמן ϕ (כלומר לא נדרשות הנחות נוספות Γ). s כמו כן נאמר כי ϕ משפט של S אם ϕ הגדרה 4.4 תכונות פשוטות של מערכת הוכחה:.Γ s ו Γ אזי ϕ s 1. מונוטוניות: אם ϕ. s סופית כך ש ϕ, Γ אז יש Γ s 2. קומפקטיות: אם ϕ.γ s ϕ אזי Γ s ולכל α מתקיים כי α s 3. טרנזיטיביות: אם ϕ 4.1 מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים HPC) (Hilbert Propositional Calculus- הגדרה 4.5 נגדיר את המערכת HPC ע"י: C = {,, (, )} עם הפעולות P = {P i.1 אלפבית: הסגור של הבסיס N} i MP : 2. נוסחאות {, } F W F (הסגור של הקבוצה P תחת קבוצת הקשרים C) MP ((α β), α) = β (α β), α β =.3 אקסיומות :A α (β α) :A 1 (α (β γ)) ((α β) (α γ)) :A 2 ( β α) (α β) :A 3 4. כללי היסק F: כוללים את Modus Ponens (כלל הניתוק) already proven formula from MP כלומר אם ידוע כי (β α) וגם α נכון, אזי ניתן להסיק כי β נכון. הגדרה 4.6 משפט ב C :HP כל פסוק α כך ש α HP C כי β)) (( α) (α טענה 4.7 הוכחנו בכיתה כי α) (α HP C HP C מסקנה 4.8 אם α, אזי לכל {α} β :β משפט 4.9 משפט הדדוקציה: לכל קבוצת פסוקים {, } F,Γ W F ולכל זוג פסוקים {, } F,α, β W F מתקיים: Γ {α} β אם ורק אם Γ (α β) HP C HP C הערה 4.10 עבור קבוצת נוסחאות,Σ נסמן ψ}.ded (Σ) = {ψ Σ טענה 4.11 הוכחנו בכיתה כי לכל αמתקיים: (α α ) וכן (α α)

4.2 משפטים חשובים משפט 4.12 משפט הנאותות ל C :HP לכל קבוצת פסוקים {, } F Γ W F ולכל {, } F,α W F אם Γ α אז.Γ α כלומר, אם α יכיח מתוך Γ אז α ספיק מתוך.Γ מסקנה 4.13 אם Γ ספיקה, אז לא ניתן להוכיח סתירות מ Γ. משפט 4.14 משפט הדיכוטומיה : לכל קבוצת פסוקים {, } F Γ W F ולכל {, } F α, β W F אם מתקיים Γ {α} β וגם Γ { α} β אז Γ β למה 4.15 לכל,x, y, z, Γ אם z) Γ (y וגם y),γ (x אזי z) Γ (x משפט 4.16 משפט השלמות ל C :HP לכל {, } F Γ W F ולכל {, } F,α W F אם Γ α אז α Γ HP C Γ. משפט 4.17 משפט השלמות והנאותות: Γ α אם ורק אם α HP C משפט 4.18 ניסוח שקול למשפט השלמות: אם Γ α אז.Γ α כלומר, אם לא ניתן להוכיח את α מתוך Γ אז יש השמה v כך ש v Γ אבל.v α 4.3 קבוצה עקבית הגדרה 4.19 קבוצת פסוקים Γ נקראת עקבית אם יש פסוק ϕ כך ש Γ ϕ. טענה Γ 4.20 לא עקבית אם ורק אם קיים פסוק ϕ כך ש ϕ Γ וגם Γ (כאילו ϕ Γ נותנת לכולם) משפט 4.21 כל קבוצה עקבית היא ספיקה הגדרה 4.22 קבוצה עקבית מקסימלית היא קבוצת פסוקים X, עקבית ולא קיימת קבוצה עקבית Y כך ש X. Y טענה Γ 4.23 עקבית אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של Γ גם עקבית. טענה 4.24 אם X עקבית מקסימלית ו ϕ,x אז.ϕ X טענה 4.25 לכל קבוצה עקבית מקסימלית X ולכל פסוק ϕ מתקיים ϕ X או ϕ. X טענה 4.26 תהי X עקבית מקסימלית. אז לכל זוג פסוקים α, β מתקיים β) X (α אם ורק אם α X או.β X טענה 4.27 כל קבוצה עקבית מוכלת בקבוצה עקבית מקסימלית. טענה 4.28 אם Z עקבית ומתקיים Y Z אז.Z Y טענה 4.29 כל קבוצה עקבית מקסימלית ספיקה. מסקנה 4.30 כל קבוצה עקבית היא ספיקה. מסקנה X 4.31 עקבית אם ורק אם X ספיקה. משפט 4.32 השלמות והנאותות : α X אם ורק אם.X α משפט 4.33 הקומפקטיות לתחשיב הפסוקים: X ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של X ספיקה. הערה 4.34 נבדיל בין הרבדים הסינטקטי והסמנטי: Syntax Semantics X consistent X satisfyable X α X α α α

9 4.4 גדירות הגדרה 4.35 נאמר שקבוצת פסוקים X מגדירה את קבוצת ההשמות המספקות אותה {X.Ass(X) = v} v הגדרה 4.36 נאמר שקבוצת השמות K היא גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים X כך ש Ass(X) K = הגדרה = Ass 4.37 קבוצת כל ההשמות. הגדרה 4.38 קבוצת השמות K גדירה באופן סופי אם יש X סופית כך ש ( Ass(X K = משפט 4.39 התנאים הבאים שקולים:.1 K גדירה וגם K c גדירה 2. K גדירה באופן סופי 3. K גדירה על ידי פסוק יחיד

תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 5 הקדמה הגדרה 5.1 אלפבית: סימנים לוגיים המשותפים לכל השפות.1 משתנים N} {x i i 2. סימני עזר: סוגריים ),(.3 קשרים בוליאניים,,,,.4 כמתים, הגדרה 5.2 מילון (סיגנטורה :(Signature המילון מכיל פרמטרים המיוחדים לשפה; תת קבוצה של:.1 סימני קבוע N} {c i i.2 סימני יחס N},{R n,i n, i כש R n,i הוא סימן יחס n מקומי.3 סימני פונקציה N} {f n,i i, n ו f n,i מסמן פונקציה n מקומית הגדרה 5.3 נאמר כי מילון הוא סופי, אם יש בו מספר סופי של סימונים. הגדרה 5.4 נאמר שמילון הוא יחסי אם אם אינו מכיל סימני פונקציה. הערה 5.5 האלפבית של השפה איתה עובדים מורכב מהסימונים הלוגיים המשותפים לכל השפות ומהסימנים במילון. בד"כ נסמן מילון באותיות,τ σ וכו'. הגדרה 5.6 שם עצם (term) מעל מילון σ. ההגדרה ברקורסיה: בסיס: כל x i הוא שם עצם. כל c σ גם שם עצם. פעולות: לכל f σ אם f פונקציה n מקומית ו t 1,.., t n שמות עצם גם ) n f(t 1,..., t שם עצם. משפט 5.7 הקריאה היחידה לשמות עצם: אם t הוא שם עצם מעל מילון σ אז מתקיים בדיוק אחד מהבאים: x i לאיזשהו משתנה t = x i.1 c σ לאיזשהו סימן קבוע t = c.2.3 קיימת פונקציה יחידה f σ וקיימים t 1,.., t k שמות עצם יחידים כך ש f על k משתנים ו ( t = f(t 1,..., t k 5.1 נוסאות מעל מילון הגדרה 5.8 נוסחאות אטומיות: לכל סימן יחס n מקומי R σ ולכל שמות עצם t 1,..., t n מתקיים כי ) n R(t 1,..., t הוא פסוק אטומי. הגדרה 5.9 פעולות: 1. הפעלת קשרים של תחשיב הפסוקים: אם,α β נוסחאות אז גם ( α) (α β),(α β) (α β),(α β) 2. כמתים: אם α נוסחה ו x משתנה, אז (α x ) ו ( α x ) נוסחאות. הסגור תחת הפעולות האלה הוא הנוסחאות מעל σ. משפט 5.10 משפט הקריאה היחידה לנוסחאות מעל σ: אם α נוסחה אז מתקיים בדיוק אחד מהבאים:

11.α = R(t 1,..., t n כך ש ( t 1,..., t n וקיימים שמות עצם R σ נוסחה אטומית: קיים α ( β) β,α = יחיד γ) a = (β op כש {,, {,,op β, γ יחידים ו op יחיד. β a = x כש β x, יחידים β α = x כש β x, יחידים 5.2 משתנים חופשיים וקשורים הגדרה 5.11 עבור שם עצם t, קבוצת המשתנים החופשיים המופיעים בשם העצם, (t) F, V מוגדרת באופן הבא: אם t = c אז = (t) F V אם x) t = x משתנה) אז {x} F V (t) = אם ) n t = f(t 1,..., t אז ) n F V (t) = F V (t 1 ) F V (t 2 )... F V (t הגדרה 5.12 עבור נוסחה ϕ, קבוצת המשתנים החופשיים של הנוסחה, (ϕ) F, V מוגדרת באופן הבא: אם ) n ϕ = R(t 1,..., t אז ) n F V (ϕ) = F V (t 1 )... F V (t אם ( α) ϕ = אז (α) F V (ϕ) = F V אם β) ϕ = (α op אז (β) F V (ϕ) = F V (α) F V אם ϕ = Qx α כש { {,,Q F V (ϕ) = F V (α)\ {x} (בעצם x אינו חופשי) הערה 5.13 כיוון שביטויים מהצורה α(x)) x ))מבלבלים, ϕ(x)) נראה שלנוסחה α(x)) y ))יש ϕ(y)) אותה משמעות סמנטית. אז נוכל לשנות שם למשתנים קשורים כדי שיהיו שונים משמות המשתנים החופשיים. הגדרה x 5.14 חופשי ב ϕ אם (ϕ) x F V הגדרה 5.15 שם עצם t יקרא סגור אם = (t) F V (כלומר שם העצם קשור) הגדרה 5.16 נוסחה ϕ תיקרא סגורה אם = (ϕ) F V (כלומר אין לה משתנים חופשיים כלל) 5.3 מבנה הגדרה 5.17 מבנה עבור מילון σ: מבנה M מורכב מהאובייקטים הבאים: 1. תחום D M הינו קבוצה לא ריקה. 2. פירוש של סימנים מ σ : (א) לכל סימן קבוע c σ מתאים איבר c M D M R M D M... D }{{ M :D } (ב) לכל סימן יחס n מקומי R, σ מתאימים יחס n מקומי מעל M n times : ( D ) M n (ג) לכל סימן פונקציה n מקומי f σ מתאימים פונקציה D M f M ומסמנים )..., m M = ( D M, C M 0,..., f M 0,..., R הגדרה 5.18 השמה: v : {x i } D M הגדרה 5.19 ערך של שם עצם תחת השמה v במבנה M מעל מילון σ: אם c (כלומר i σ קבוע במילון) v(s) = c M i אז s = c i v(s) = v(x i ) אז s = x i אם ) n s = f (s 1,.., s כש σ,f אז )) n v(s) = f M ( v(s 1 ),..., v(s

5.4 הגדרת ערך האמת בלוגיקה מסדר ראשון הגדרה 5.20 לכל d D M נסמן השמה של d במקום משתנה x i { v(x v ( d j ) j i /x i) (x j ) = d j = i הגדרה 5.21 יהי מבנה M והשמה v. נגדיר:.1 נוסחאות אטומיות: ) n ϕ = R (s 1,..., s כש σ.r אז v(ϕ) = t אם ורק אם ( v(s 1 ),..., v(s n )) R M.2 קשרים לוגיים: אם β) ϕ = (α op כש {,, {, op או ( α) ϕ = אז ערך האמת של ϕ יקבע לפי טבלת האמת של הקשר הרלוונטי: v(β)). v (ϕ) = T T op ( v(α),.3 כמתים: ϕ = x i α או ϕ = x i α.ū(α) = t מתקיים u = v ( d /x i) כך שעבור d D M אם ורק אם קיים v( x i α) = t.ū(α) = t מתקיים u = v ( d /x i) עבור d D M אם ורק אם לכל v ( x i α) = t משפט 5.22 אם u, v השמות כך שלכל (ϕ) v(x) = u(x),x F V אז ū(ϕ) v(ϕ) = הגדרה 5.23 פסוק הינו נוסחה ללא משתנים חופשיים מסקנה 5.24 יהי ϕ פסוק. אם קיימת השמה v כך ש v(ϕ) = t אזי לכל השמה ū(ϕ) = t u, מסקנה 5.25 ערך האמת של פסוק תלוי רק במבנה.

13 6 מושגי יסוד סמנטיים הגדרה t נביעה 6.1 :(truth) מבנה M והשמה v מספקים את ϕ אם. v(ϕ) = t נסמן.M, v ϕ ϕ. של הוא t מודל,M) (v במקרה זה נאמר כי,M. v כך ש ϕ v אם קיימת השמה M ספיקה במבנה ϕ תהי Γ קבוצת נוסחאות. אז.M, v Γ ונסמן M, v ϕ מתקיים ϕ Γ אם לכל v תחת השמה M מסתפקת במבנה Γ Γ. של הוא t מודל,M) ונאמר כי( v,m v כך ש Γ v אם קיימת השמה M ספיקה במבנה Γ ϕ (Γ) ספיקה אם יש מבנה M בו (Γ)ϕ ספיקה. נסמן Γ t ϕ אם כל t מודל של Γ הוא גם t מודל של.ϕ במילים אחרות, Γ t ϕ אם לכל M, v כך ש t, v(α) = לכל,α Γ מתקיים גם. v(ϕ) = t כלומר M, v Γ M, v ϕ ( v(ϕ) = t v(ψ) = t כך שמתקיים M, v כל { ψ }(כלומר t ϕ וגם {ϕ} t ψ אם ל ψ היא t שקולה ϕ נאמר כי ϕ היא t תקפה אם t ϕ (כלומר לא צריך מבנה והשמה כדי לספק אותה) הגדרה v נביעה 6.2 :(valid).ϕ של יקרא v מודל M. M ϕ ומסמנים,M, v ϕ,v אם לכל השמה M נכונה במבנה (Γ) ϕ ϕ (Γ) היא v ספיקה אם יש לה v מודל.. v ϕ בכל מבנה. נסמן אם ϕנכונה נקראת v תקפה ϕ ϕ Γ v אם כל v מודל של Γ הוא גם v מודל של ϕ (כלומר בכל מבנה בו Γ נכונה גם ϕ נכונה) ϕ הוא v שקול ל ψ אם {ϕ} v ψ וגם { ψ }(כלומר v ϕ בכל מבנה בו ψ נכונה גם ϕ נכונה, ולהיפך) טענה 6.3.1 אם v תקפה ϕ אז כך גם x ϕ, x ϕ 2. אם v תקפה x ϕ אז v תקפה ϕ v(ϕ) = v(ψ) מתקיים,M v אם ורק אם לכל t שקולות הן ו ψ ϕ 3. הערה 6.4 אם M, v ϕ אז בוודאי ;M, v ϕ מאידך ϕ וגם ϕ יכולות להיות ספיקות ב M. אם M ϕ אז בוודאי M ϕ אבל אם M ϕ לא בהכרח. M ϕ טענה 6.5.1 אם Γ t ϕ אז Γ v ϕ (הכיוון השני לאו דווקא נכון).2 אם Γ מכילה רק פסוקים אז אם Γ v ϕ אז Γ t ϕ 3. ϕ v אם ורק אם t ϕ (לכן נדבר רק על תקפות באופן כללי) 4. אם ב Γ יש רק פסוקים אז Γ t ϕ אם ורק אם Γ v ϕ Γ t ϕ אם ורק אם t ספיקה Γ {ϕ}.5 טענה t שקולה ϕ 6.6 ל ψ אם ורק אם (ψ ϕ) תקפה.

טענה R(x) 6.7 R(x) v x הגדרה 6.8 עבור נוסחה ϕ עם משתנים חופשיים,x 1,..., x n הסגור האוניברסלי של ϕ מסומן ϕ הוא הפסוק x 1 x 2... x n ϕ ϕ של v מודל M ורק אם אם מסתפק ב M ϕ טענה 6.9 טענה Γ v ϕ 6.10 אם ורק אם ϕ Γ v אם ורק אם ϕ,γ t כש } Γ Γ = { α α 6.1 הצבה של שם עצם למשתנה יהי x משתנה ו r שם עצם. אינטואיציה: רוצים להחליף "כל" מופע של x ב r. צריך להגדיר בזהירות בגלל האפשרות ש x קשור. הגדרה 6.11 החלפת משתנה בשם עצם, עבור שמות עצם: יהיו,r s שמות עצם. שם העצם [x/ s [ r מוגדר באופן הבא: (א) אם s = c (סימן קבוע) אז s [ r /x] = s (ב) אם s = y אז s [ r /x] = s מתקיים y x אם.i s [ r /x] = r מתקיים y = x אם.ii.2 אם ) n s = f (s 1,..., s אז /x]) s [ r /x] = f (s 1 [ r /x],..., s n [ r לפי משפט הקריאה היחידה אפשר לראות ש [ x / s [ r מוגדר היטב. הגדרה 6.12 הצבת שם עצם למשתנה עבור נוסחאות: יהי r שם עצם, ϕ נוסחה. אז [x/ ϕ [ r מוגדרת באופן הבא:.1 אם ) n ϕ = R (s 1,..., s אז /x]) ϕ (כאשר [ r /x] = R(s 1 [ r /x],..., s n [ r s i שמות עצם).2 אם ϕ = ϕ 1 op ϕ 2 (או (ϕ = ϕ 1 אז /x] ϕ [ r /x] = ϕ 1 [ r /x] op ϕ 2 [ r (או /x] ( ϕ 1 [ r.1 (Q {, (כש { ϕ = Qy ψ.3 (א) אם y = x אז ϕ [ r /x] = ϕ (ב) אם y x אז /x] ϕ [ r /x] = Qy ψ [ r הערה 6.13 בעצם [x/ ϕ [ r מתקבלת מ ϕ ע"י החלפת כל המופעים החופשיים של x ב r. הגדרה r 6.14 חופשי להצבה ב x בנוסחה ϕ אם: ϕ עבור חופשי להצבה ב x r אזי ϕ = R (s 1,.., s n ).1.2 אם ϕ = ϕ 1 or ϕ 2 (או (ϕ = ϕ 1 אז r חופשי להצבה ב x עבור ϕ רק אם r חופשי להצבה ב x עבור ϕ 1 וגם עבור ϕ 2 (או עבור ϕ 1 בלבד במקרה של (ϕ = ϕ 1 ϕ = Qy ψ.3 (א) אם x אינו מופע ב ϕ אז r חופשי להצבה ב x בנוסחה (לא מתבצעות הצבות) (ב) אם x אינו חופשי ב ϕ אז r חופשי להצבה (לא מתבצעות הצבות) (ג) (ϕ) x F V אז r חופשי להצבה אם: y / F V (r).i ψ עבור חופשי להצבה ב x r.ii טענה r 6.15 חופשי להצבה ב x עבור נוסחה ϕ אם ורק אם לאף משתנה (r) y F V לא נוצר מופע קשור חדש. הערה: צריך להגדיר מהם מופע קשור ומופע חופשי (יותר עדין ממשתנה קשור / חופשי)

15 טענה 6.16 יהיו,r s שמות עצם ו v השמה. נגדיר השמה חדשה: [x/. u = v [ v(r) כלומר: { v(y) y x u(y) = v(r) y = x אז /x]) ū(s) = v (s [ r טענה r 6.17 שם עצם, v השמה ו ( r ) y) y / F V לא מופיע ב r ) אזי /x]) v(r) = ū (r [ y כאשר /y].u = v [ v(x) טענה 6.18 שינוי שם משתנה קשור תהי ϕ נוסחה כך ש y לא מופיע ב ϕ. לכן, x ϕ (באותו אופן t שקולה ( x ϕ לנוסחה /x) y ϕ ( y (ובאותו אופן /x) ( y ϕ ( y 6.2 צורות קנוניות הגדרה P NF 6.19 נוסחאות ב P NF הן מהצורה Q 1 x 1...Q n x n ϕ (כש ϕ חסרת כמתים) הגדרה 6.20 נוסחה חסרת כמתים (הגדרה אינדוקטיבית): בסיס: נוסחאות אטומיות; פעולות: קשרים; סגור: נוסחאות חסרות כמתים. הגדרה :P NF 6.21 בסיס: נוסחאות חסרות כמתים; פעולות: כמתים; סגור:.P NF משפט 6.22 משפט ה P: NF לכל נוסחה מעל מילון σ קיימת נוסחת P NF מעל t שקולה σ לה. הערה 6.23 הפעולה של העברת נוסחה לנוסחת P NF נקראת חילוץ כמתים. טענה 6.24 x ϕ x ל ψ t שקולה x (ϕ ψ).1 x ϕ x ל ψ t שקולה x (ϕ ψ).2.3 אם (ψ) x / F V אזי t שקולה ( x ϕ) ψ ל ( ψ x (ϕ.4 אם (ϕ) x / F V אזי ψ) t שקולה x (ϕ ל ψ ( x ϕ) x ϕ x ϕ, x ϕ x ϕ.5 הערה ψ) 6.25 x (ϕ לאו דווקא שקולה ל ψ x ϕ x 6.3 גדירות יחסים במבנה הגדרה 6.26 יהיה σ מילון, M מבנה עבורו. תהי ) n ϕ (x 1,.., x נוסחה מעל σ עם } n F V (ϕ) = {x 1,..., x (אולי ב ϕ יש משתנים קשורים נוספים) אזי ϕ מגדירה ב M את היחס הבא: R ϕ D M... D M }{{} n times כך ש (d 1,..., d n ) R ϕ אם ורק אם ההשמה v המקיימת.v(x 1 ) = d 1,..., v(x n ) = d n מקיימת. v(ϕ) = t יחס R יקרא גדיר ב M אם קיימת נוסחה ϕ כך ש R. = R ϕ

7 בדיקת ספיקות תזכורת: פסוק: נוסחה ללא משתנים חופשיים. פסוק/נוסחה אווניברסלי: x 1... x n ϕ כש ϕ חסרת כמתים. פסוק/נוסחה יישי: x 1... x n ϕ כש ϕ חסרת כמתים. טענה 7.1 יהי σ מילון, אזי ϕ(x) x ספיקה מעל σ אם ורק אם [x/ ϕ [ c ספיקה מעל המילון {c} σ, = σ כאשר c סימן קבוע חדש. טענה 7.2 פסוק ) n y 1... y n x ϕ(x, y 1,..., y ספיק אם ורק אם הפסוק ) n y 1... y n ϕ(f(y 1,..., y n ), y 1,..., y ספיק מעל מילון {f} σ = σ כאשר f סימון פונקציה n מקומית חדש. משפט 7.3 סקולם :(Skolem) קיים אלגוריתם שלכל פסוק ϕ בונה פסוק אוניברסלי ψ כך ש ϕ ספיק אם ורק אם ψ ספיק. ψ עשוי להיות מעל מילון שונה. הערה 7.4 האם ϕ שקולה ל ψ? לאו דווקא, בהרבה מקרים הן אפילו לא מוגדרות מעל אותו מילון! הערה 7.5 האם הטרנספורמציה שומרת על תקפות? לאו דווקא. הערה 7.6 אם ϕ נוסחה חסרת משתנים וכמתים, נסמן ב ϕ ˆ את הנוסחה שהתאמנו לה בתחשיב הפסוקים. (מגדירים באינדוקציה כמו שצריך). טענה 7.7 1. ϕ ספיקה אם ורק אם ϕˆ ספיקה. 2. ϕ תקפה אם ורק אם ϕˆ תקפה. הגדרה 7.8 מבנה הרברנד Herbrand M הוא מבנה הרברנד מעל מילון σ אם:.1 לכל a D M יש שם עצם s ללא משתנים כך ש a s M =.2 לכל שני שמות עצם שונים s M 1 s M 2,s 1 s 2 במבנה הרברנד איברים מהתחום מתאימים לשמות עצם באופן חח"ע ועל. 7.1 תכונות של מבנה הרברנד יהי σ מילון, H מבנה הרברנד עבורו..1 יש שם עצם r מעל משתנים.x 1,..., x n נניח כי: v(x 1 ) = d 1 s 1. v(x n ) = d n s n אז לכל השמה v מתקיים v(r) = r [ s1 /x 1,..., sn /x n] M (v(x i הם שמות העצם המתאימים ל ( s i )

H ϕ [ s1 /x 1,..., sn /x n].2 ϕ נוסחה, } n.f V (ϕ) = {x 1,..., x אז H, v ϕ אם ורק אם כש v(x 1 ) = d 1 s 1. v(x n ) = d n s n נכון ב H. ϕ [ r כך ש [ x / r ורק אם יש שם עצם אם נכון ב H x ϕ(x) 3. נכון ב H. ϕ [ r [x/ r, ורק אם לכל שם עצם אם נכון ב H x ϕ(x) 4. תזכורת בהינתן השמה,v שם עצם s ומשתנה x הגדרנו:[ x / v = v [ v(s) והוכחנו ש ( r ) v (r [ s /x]) = v וכנ"ל לנוסחאות. משפט 7.9 משפט הרברנד יהי σ מילון ללא סימן =. פסוק אוניברסלי ϕ מעל σ ספיק אם ורק אם הוא ספיק במבנה הרברנד. הגדרה 7.10 נגדיר : Ground Instance יהי ) n α = x 1... x n ϕ(x 1,..., x פסוק אוניברסלי. נוסחה המתקבלת על ידי הצבת שמות עצם סגורים (כאלו שעבורם מתקיים = (t) (F V למשתנים x 1,..., x n נקראת ground instance של.α GrIns(α) = { ϕ [ s1 /x 1,..., sn /x n] s 1,..., s n T erm } כש erm T קבוצת שמות העצם הסגורים. משפט σ 7.11 מילון ללא =. Γ קבוצת פסוקים אוניברסלית מעל σ. הטענות הבאות שקולות:.1 Γ ספיקה 2. Γ ספיקה במבנה הרברנד ( GrIns(Γ (הרחבה = ϕ Γ של המשפט) GrIns(ϕ) ספיקה GrIns(Γ).3 4. GrIns(Γ) ספיקה במבנה הרברנד טענה 7.12 (נניח שב σ אין שוויון) אם Λ קבוצת פסוקים ללא משתנים וללא כמתים, אז Λ ספיקה אם ורק אם היא ספיקה במבנה הרברנד.

8 בדיקת תקפות בהינתן פסוק ϕ נראה תהליך שעוצר אם ϕ תקף (ואומר ϕ תקף), אחרת עשוי לרוץ לעד. נשים לב כי ϕ תקף ϕ לא ספיק. נרצה להעביר את ϕ לצורה אוניברסלית (נעשה זאת בעזרת סקולמיזציה). נקבל פסוק אוניברסלי ψ. לפי המשפט שראינו, ψ אינו ספיק אם ורק אם GrIns(ψ) אינה ספיקה במבנה הרברנד. ראינו שניתן לתרגם נוסחאות ללא משתנים וללא כמתים לתחשיב הפסוקים באופן משמר ספיקות. נקרא לקבוצה Γ. לפי משפט הקומפקטיות בתחשיב הפסוקים, Γ ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה. הפרוצדורה תעבור על כל תתי הקבוצות הסופיות עד שתמצא אחת שאינה ספיקה ואז תכריז ש ϕ תקף. 8.1 משפט הקומפקטיות בתחשיב היחסים משפט 8.1 משפט הקומפקטיות עבור נוסחאות מעל מילון ללא =: 1. Γ ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה.. t כך ש ϕ, Γ אם ורק אם קיימת תת קבוצה סופית Γ t ϕ.2. v כך ש ϕ, Γ אם ורק אם קיימת תת קבוצה סופית Γ v ϕ.3 משפט 8.2 "היורד" LöwenheimSkolem) (Downward ϕ ספיקה אם ורק אם ϕ ספיקה במבנה סופי או בן מניה. משפט 8.3 "העולה" LöwenheimSkolem) (Upward אם ϕ ספיקה במבנה אינסופי, אז לכל עוצמה אינסופית λ יש מבנה מעוצמה λ המספק את ϕ. 8.2 לוגיקה מסדר ראשון עם סימן = הערה 8.4 נזכר כי..., 1 σוהאלפבית = c 0, c 1,..., f 1,..., R שלנו הוא,,,,,, ),.(, כעת נוסיף סימן חדש: = יש הרבה ספרים בהם סימן = הוא חלק מהשפה נמצא בכל מילון ותמיד מפורש כשיוויון. בפרט כשיש שוויון, גם ) 2 t) 1 = t פסוק אטומי. רעיון לטיפול ב =: להגדיר מבנה בו האיברים הם מחלקות שקילות של שמות עצם סגורים בהתאם למבנה M, כך ש ( t) 1 t 2 אם.(t 1 = t 2 ) M = t משפט 8.5 קיים אלגוריתם שעבור נוסחה ϕ בונה נוסחה ψ ללא שיוויון כך ש ϕ ספיקה אם ורק אם ψ ספיקה. טענה 8.6 יש אלגוריתם שבהינתן נוסחה ϕ בונה נוסחה ϕ ללא סימני פונקציה כך ש ϕ ספיקה אם ורק אם ϕ ספיקה. הגדרה 8.7 יחס E נקרא יחס קונגרואנציה אם: 1. E יחס שקילות: Equivalence(E) : ( x E(x, x)) ( x, y E(x, y) E(y, x)) x, y, z (E(x, y) E(y, z) E(x, z)) 2. לכל יחס R מתקיימת הנוסחה (R ;Cong(E, אם R יחס k מקומי אז Cong(E, R) : x 1,..., x k y 1,..., y k (E(x 1, y 1 )... E(x k, y k ) (R(x 1,..., x k ) R(y 1,..., y k ))) מסקנה 8.8 משפט הקומפקטיות למילון עם שוויון. משפט 8.9 לא קיים אלגוריתם לבעיית התקפות (משפט עוצרת כשהנוסחה אינה תקפה). (Church (מאידך, ראינו פרוצדורה שאומרת "כן" לנוסחאות תקפות, ולא

19 8.3 בעיית התקפות אינה כריעה הגדרה 8.10 בעיית העצירה: בהינתן מכונת טיורינג, צריך להכריע האם המכונה עוצרת על הקלט הריק. משפט 8.11 לא קיים אלגוריתם לבעיית העצירה [מודלים חישוביים]. הגדרה 8.12 בעיית הריצוף: קלט: "לבנים" 1 1 עם צדדים צבועים (מספר סופי של סוגי לבנים). מטרה: לרצף את הרביע הראשון; צלעות משיקות צבועות באותו הצבע. השאלה האם קיים ריצוף כזה? משפט 8.13 אין אלגוריתם לבעיית הריצוף (ע"י רדוקציה לבעיית העצירה). 8.3.1 מילון עבורו ניתן להכריע את בעיית התקפות מילון σ יקרא מונאדי אם במילון יש רק יחסים חד מקומיים (בלי פונקציות ובלי שוויון). משפט 8.14 משפט המבנה הקטן אם נוסחה ϕ המוגדרת מעל מילון מונאדי ספיקה, אז היא ספיקה במבנה סופי (אם יש בה k יחסים היא ספיקה במבנה בגודל k 2, k יכול להיות עצמה אינסופית).

9 מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון MP = α,α β β תזכורת (תחשיב הפסוקים): 3 אקסיומות, כלל היסק הגדרה 9.1 אקסיומות למערכת הוכחה α (β α) :A 1 (α (β γ)) ((α β) (α γ)) :A 2 ( β α) (α β) :A 3 ב α החופשי להצבה ב x t לכל שם עצם x α(x) α [ t /x] :A 4 אינו חופשי ב ϕ x כאשר x (ϕ ψ) (ϕ x ψ) :A 5 הגדרה 9.2 כללי היסק MP : (α β), α β Gen : ϕ(x) x ϕ(x) הערה 9.3 לא נבדיל בין נוסחאות שהתקבלו משינוי שם משתנה נאמר כי Γ α אם α יכיח במערכת ההוכחה הנ"ל, מקבוצת נוסחאות Γ. היא מערכת הוכחה מעל }, {, לא מטפלים בשוויון; לא ניתן להוכיח במערכת ההוכחה הזאת x. = x אם רוצים לטפל בשוויון מוסיפים אקסיומות שמבטאות את העובדה ש = הוא יחס שקילות וקונגרואנציה. 9.1 משפטי השלמות והנאותות משפט 9.4 הנאותות: אם Γ אז Γ v α משפט 9.5 השלמות: אם Γ v α אז Γ α משפט 9.6 ניסוח שקול למשפט השלמות: אם Γ עקבית (יש פסוק שלא יכיח מ Γ ) אז יש מבנה בו היא נכונה. טענה 9.7 נניח ש α. לכל הצבה של נוסחאות ב OL F למשתנים האטומים ב α (נקרא לנוסחה החדשה αˆ) מתקיים αˆ HP C 9.2 משפט הדדוקציה משפט 9.8 משפט הדדוקציה ל : אם,Γ α β ויש הוכחה של β מ α,γ שבה לא הפעלנו את Gen על אף משתנה חופשי ב α, אז β).γ (α

21 9.3 משפט הדיכוטומיה,Γ α וניתן לכתוב כל אחת מההוכחות ללא הפעלת כלל Gen על,Γ α וגם β משפט 9.9 משפט הדיכוטומיה ב : אם β.γ אף משתנה חופשי ב α, אז β Γ. Γ אז α(x) x משפט 9.10 יהי c סימן קבוע שלא מופיע ב Γ או ב α. אז אם [x/ α [ c הגדרה 9.11 קבוצת נוסחאות Γ (אולי מעל σ) Σ היא שלמה עבור מילון σ אם לכל פסוק ϕ מעל σ מתקיים ϕ Γ או ϕ. Γ הערה 9.12 כשמוכיחים את משפט השלמות די לדבר על קבוצת פסוקים Γ כי Γ v α אם ורק אם Γ v α וברור שאם α.γ α משפט 9.13 אם Γ עקבית מעל σ אז יש Γ Γ עקבית ושלמה מעל σ. Γ אז הגדרה 9.14 ל Γ יש את תכונת הנקין (Henkin) עבור מילון σ אם לכל פסוק ϕ Γ מעל σ מהצורה ψ(x) ϕ = x יש c במילון 5. ψ [ c /x] כך ש Γ Σ משפט 9.15 משפט הנקין: אם Γ עקבית מעל מילון σ אז יש עקבית, בעלת תכונת הנקין ל σ, מעל מילון σ Σ כך ש Γ. למה 9.16 אם Γ עקבית, x ψ Γ פסוק ו c קבוע חדש אז /x]} Γ { ψ [ c עקבית. מסקנה 9.17 (הרחבה של המשפט) אם Γ עקבית מעל σ אז יש Γ מעל σ Σ ועקבית, בעלת תכונת הנקין ביחס ל Σ. משפט 9.18 כל קבוצה עקבית Γ מעל σ מוכלת בקבוצה עקבית מעל σ Σ שהיא שלמה ובעלת תכונת הנקין ביחס ל Σ. 5 מותר ש Γ מעל σ Σ